Maxwells ligninger i nåværende form

Felt-linier (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Maxwells ligninger i nåværende form


I 1864 var det 20 likninger som løste for 20 variabler, nå har vi 4. En titt på ligningene gjennom årene.

Introduksjon

Michael Faraday bemerket på 1830-tallet at en kompassnål flyttet da elektrisk strøm strømmet gjennom ledninger i nærheten av den. Med den observasjonen begynte vitenskapen for elektrisitet og magnetisme å bli slått sammen. Noe berørte objekter 'på avstand' og forskere lette etter svar.

Til slutt ble "noe" som påvirket objektene ansett å være et "felt", med kraftlinjer som kunne påvirke gjenstander gjennom luften. James Clerk Maxwell var blant de første til å oversette krefter Faraday først lagt merke til i matematisk form. De ligninger som roteres i klassisk fysikk forklarte elektromagnetiske felt og ga grunnlag for radio, fjernsyn og våre mobiltelefoner.

Ligningene i dag

I dag tenker vi vanligvis på Maxwells ligninger som et sett med fire partielle differensialligninger ved hjelp av vektornotasjon. Du kan se dem i differensial eller integrert form som vist i Figur 1.

Figur 1. Maxwells Equations utviklet av Oliver Heaviside.

Også omtalt som Gauss lov, Gausss magnetisme, Faradays Induction Law og Ampere's Law (med sistnevnte som har en "Maxwellian Correction".)

Disse bruker divergensene (∇ ●) og krølle (∇x) operatører av vektornotasjon; gitt i form av d / dt. Likningene beskriver Faradays konsepter matematisk, og gir hvordan elektriske og magnetiske felt genereres, opprettholdes og påvirkes av elektriske ladninger, beveger strøm og magneter.

Men i 1864, da James Clerk Maxwell, en professor ved King's College i London presenterte sin banebrytende teori til Royal Society of London, var det ingen omtale av Gauss, det var ingen vektorer, og det var tydeligvis kalt 20 likninger.

Et nytt felt

Papiret "En dynamisk teori av det elektromagnetiske feltet" ble utgitt i den filosofiske transaksjonen av Royal Society of London in1865. I det introduserte Maxwell teorien om et elektromagnetisk felt, forklart hvorfor han betraktet det dynamisk, vurderer at det er viktig i bevegelse. Han fremførte det han refererte til som de generelle likninger av det elektromagnetiske feltet. Han konkluderte også med at egenskapene sett i lys gjør det til en form for elektromagnetisk felt, og inkluderte en teori for forplantning av lys.

På grunnlag av forskning fra 1846 til 1864 citerte Maxwell 21 forskere, sine egne tidlige forsøk på å forklare hva som skjedde, samt eksperimentene fra British Association for Standards of Electric Resistance i hans papir. Han nevner selv forskning han ble oppmerksom på mellom tiden han sendte inn i oktober 1864 og tiden han presenterte den til samfunnet i desember samme år. Det som Maxwell presenterte var en foreningsteori som brakte all forskning og eksperimenter sammen, og kunne forklare hva som ble sett i de ulike forskningslaboratoriene på den tiden.

Forskere og laboratorier som de vises i Maxwells 1864-papir:

  • MW Weber
  • C. Neumann
  • Geissler
  • Professor W. Thomson
  • Faraday
  • M. Verdet
  • Mr. F. Jenkin
  • Helmholtz
  • Kohlrausch
  • felici
  • ampere
  • Pouillet
  • Daniell
  • Knoblauch
  • M. Faucault
  • M. Gaugain
  • M.Plateau
  • Mr. C. Hockin
  • Leyden
  • Grønn
  • Fizeau

Selv om to av de fire Maxwells ligninger vanligvis kalles arbeidet til Carl Gauss, merk at Maxwells 1864-papir ikke nevner Gauss. Gauss lov (Gauss fluxteorem) omhandler fordelingen av elektrisk ladning og elektriske felt. Selv om han ble formulert i 1835, ga Gauss ikke arbeidet sitt før 1867, etter at Maxwells papir ble publisert.

I tillegg til likningene, tok Maxwell muligheten til at Lys er en form for elektromagnetisk energi. Et resultat av arbeidet gjennom likningene, fant Maxwell at hastigheten til elektromagnetiske bølger, gitt i figur 2, syntes å ligge nær lysets hastighet. Maxwell anerkjente tallet og foreslo at lys var en form for elektromagnetisk bølge.

$$ v = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_ {0} \ epsilon_ {0}}} $$

Figur 2. Hastigheten til elektromagnetiske bølger gitt i form av elektrisk ladning og magnetisk permeabilitet.

I del III, "Generelle likninger av det elektromagnetiske feltet", beskriver Maxwell ligningene som krever løsning for 20 ukjente ved å bruke 20 ligninger:

3 likninger for elektriske strømmer, 3 for elektromotorisk kraft, 3 for elektrisk elastisitet, 3 for magnetisk kraft, 3 for totalstrøm, 3 for elektrisk motstand,
1 for elektromagnetisk momentum, og 1 for magnetisk intensitet.

For de 20 ukjente, brukes følgende symboler:

Elektromagnetisk momentum: $$ F $$ $$ G $$ $$ H $$

Magnetisk intensitet: $$ \ alpha $$ $$ \ beta $$ $$ \ gamma $$

Elektromotorisk kraft: $$ P $$ $$ Q $$ $$ R $$

Nåværende på grunn av ekte ledning: $$ p $$ $$ q $$ $$ r $$

Elektrisk forskyvning: $$ f $$ $$ g $$ $$ h $$

Totalt nåværende: $$ q '$$ $$ q' $$ $$ r '$$

Mengde gratis strøm: $$ e $$

Elektrisk potensial: $$ \ Psi $$

Maxwell satt opp 20 partielle differensialligninger for å løse disse 20 ukjente.

Husk sist gang du måtte løse 3 ligninger for 3 ukjente "En avhandling om elektrisitet og magnetisme". I forordet sier Maxwell det utgjør "Vitenskapen om elektromagnetisme". Han nevnte også Gauss fremtredende. Arbeidet leser som en samling av "det vi vet nå på dette tidspunktet i vitenskapen om elektrisitet og magnetisme". Maxwell inkluderte alle kjente fasetter av forskning. I volum 2, kapittel IX, inkluderte han en annen "Generelle likninger av det elektromagnetiske feltet", og i Art. 618 og 619 nevnte han kvaternioner.

Quaternions er en utvidelse av komplekse tall i skjemaet:

$$ H = a + bi + cj + dk $$;

hvor $$ en $$, $$ b $$, $$ c $$, $$ d $$ er ekte og $$ i2 = j2 = k2 = ijk = -1 $$

Quaternions ble oppfunnet av William Hamilton i 1843 og kan brukes til å beskrive 3D-rotasjoner. Maxwell omformulerte sine ligninger ved hjelp av kvaternioner: Quaternion-uttrykk for elektromagnetiske mengder og kvaternionekvivalenter av det elektromagnetiske feltet. Maxwell brukte det han refererte til som Hamiltonian vektorer og endte med 11 vektorer (33 symboler), 4 skalarer og vel som C for konduktans; K for dialektisk induktiv kapasitans og μ for magnetisk induktanskapasitet. Og det var hvordan matematikken var igjen i lang tid. Maxwell døde i 1879.

Etter Maxwell

I 1884 studerte Oliver Heaviside Maxwells Treatise. Han innså at ved å bruke vektornotasjon i stedet for kvaternioner, kunne 12 av ligningene erstattes av 4, de fire ligningene som ble gitt i begynnelsen av denne artikkelen. De resterende ligningene som omhandler kretsanalyse ble et eget fagområde. Med vektornotasjonen kom matematikken og implikasjonene til Maxwells teori endelig til å bli forstått. I 1888 validerte Heinrich Hertz Maxwells teori. Ved å skape elektromagnetiske bølger utenfor det synlige lysområdet ble radio og fjernsyn muliggjort.

I 1905 nevnte Einstein Maxwell og Hertz i sin teori om spesiell relativitet. Etter hvert som den vitenskapelige verden ble introdusert til observatører og referanserammer, er lysets hastighet funnet å være konstant. Når man ser på hastigheter, kreves nå galileiske transformasjoner, med henvisning til den klassiske newtonske fysikken hvor hastigheter er mye mindre enn lysets hastighet og Lorentz-transformasjoner, likninger som kan brukes til enhver hastighet. Hastigheten til elektromagnetiske bølger er konstant. Frekvensene kan variere, men forplantning av de elektromagnetiske bølgene opptrer alle sammen med samme hastighet.

Med Quantum Physics utviklet på 1920-tallet, gikk fotoner inn i diskusjonen og Quantum Electrodynamics forårsaket at ligningene tok på seg et mikroskopisk aspekt (håndtering av strømmer og ladninger på atomnivå av materialer) og et makroskopisk aspekt (ved hjelp av alternativer til komplekse atomnivåberegninger ). Forskningen fortsetter mot målet om en samlet teori.

Sammendrag

Selv om vi refererer til Maxwells ligninger som de 4 partielle differensialligninger ved hjelp av vektornotasjon, siden Maxwell introduserte sine ligninger til verden i 1864, har form, innhold og matematisk uttrykk endret seg. Ligningene i nåværende form tjener som plassholdere for alle innsiktene som Maxwell gir. Hver generasjon har "eid" ligningene som holder dem så relevante for fremvoksende vitenskap som elektrisitet, magnetisme og lys selv.